Question

△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为

1

2

，那么b为（　　）

• A．1+

  3

• B．3+

  3

• C．

  3+ 3

  3

• D．2+

  3

Answer 1

分析：根据等差中项的性质可知2b=a+c．平方后整理得a²+c²=4b²-2ac．利用三角形面积求得ac的值，进而把a²+c²=4b²-2ac．代入余弦定理求得b的值．

解答：解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c．
平方得a²+c²=4b²-2ac．
又△ABC的面积为

1

2

，且∠B=30°，
故由S_△=

1

2

acsinB=

1

2

ac•sin30°=

1

4

ac=

1

2

，
得ac=2，
∴a²+c²=4b²-4．
由余弦定理
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4b2-4-b2

2×2

=

3b2-4

4

=

3

2

．
解得b²=

4+2 3

3

．
又∵b为边长，
∴b=

3+ 3

3

．
故选C．

点评：本题主要考查了解三角形的问题．解题过程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及勾股定理等知识．