Question

如图所示,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且AE=AF.

证明:(1)B,D,H,E四点共圆.

(2)CE平分∠DEF.

Answer 1

【证明】(1)在△ABC中,因为∠B=60°,

所以∠BAC+∠BCA=120°.

因为AD,CE是角平分线,

所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°.

于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°,所以B,D,H,E四点共圆.

(2)连接BH,则BH为∠ABC的平分线,

∠HBD=30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆,

所以∠CED=∠HBD=30°.

又∠AHE=∠EBD=60°,

由AD平分∠BAC,AE=AF,可得EF⊥AD,可得∠CEF=30°,

所以∠CED=∠CEF,所以CE平分∠DEF.