Question

设函数f（x）=|x-2a|，g（x）=|x+a|，a∈R．
（1）令a=1，若存在x使得f（x）-g（x）≥m成立，求m的取值范围；
（2）若f（x）+g（x）≥3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，令其大于等于m即可解出实数m的取值范围；
（2）由题意，得f（x）+g（x）≥3恒成立，只须3小于等于f（x）+g（x）的最小值即可，得到实数a的取值范围．
解答：解：（1）由a=1时，||x-2|-|x+1||≤|x-2-（x+1）|=5，∴|x-2|-|x+1|∈[-3，3]
∵存在x使得f（x）-g（x）≥m成立，
∴3≥m，即m的取值范围是m≤3．
（2）∵f（x）+g（x）=|x-2a|+|x+a|≥|x-2a-（x-a）|=|3a|，
若f（x）+g（x）≥3恒成立，
可得|3a|≥3时不等式恒成立，所以a≥1或a≤-1
∴实数a的取值范围是a≥1或a≤-1．
点评：本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，着重考查函数的性质及应用，属于中档题．