Question

设函数f（x）=2^x，对于任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有下列命题
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；③

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；④f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

分析：根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹凸性对①②③④进行逐一进行判定即可．

解答：解：2x1•2x2=2x1+x2，所以对于①成立，
2x1+•2x2≠2x1•x2，所以对于②不成立，
函数f（x）=2^x，在R上是单调递增函数，
若x₁＞x₂则f（x₁）＞f（x₂），则

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
若x₁＜x₂则f（x₁）＜f（x₂），则

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，故③正确
f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

说明函数是凹函数，而函数f（x）=2^x是凹函数，故④正确
故答案为：①③④

点评：本题考查指数函数的性质，指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质．