Question

已知向量，．其中O为坐标原点．
（Ⅰ）若且m＞0，求向量与的夹角；
（Ⅱ）若对任意实数α、β都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设它们的夹角为θ，则
=，
故…（6分）．
（Ⅱ）由
得（mcosα+sinβ）²+（msinα-cosβ）²≥4
即m²+1+2msin（β-α）≥4对任意的α，β恒成立…（9分）
则或，
解得m≤-3或m≥3…（13分）．
分析：（Ⅰ）设它们的夹角为θ，利用向量的数量积公式表示出cosθ，将已知条件代入，利用特殊角的三角函数值求出两个向量的夹角．
（II）利用向量模的坐标公式将已知条件转化为m²+1+2msin（β-α）≥4对任意的α，β恒成立，通过对m分类讨论，求出
m²+1+2msin（β-α）的最小值，令最小值大于等于4，求出m的范围．
点评：求向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式来解决；解决不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值来解决．