Question

已知直线l经过点P(3，1)，且被两条平行直线l₁：x＋y＋1＝0和l₂：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

分析一：如下图，利用点斜式设出直线l的方程，用k表示其斜率，分别与直线l1，l2联立，求得两交点A，B的坐标(用k表示)，再利用|AB|＝5可求出k的值，从而求得l的方程． 　　解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时l与l1，l2的交点分别为(3，－4)和(3，－9)，截得的线段的长||＝|－4＋9|＝5，符合题意． 　　若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即y＝k(x－3)＋1，直线l与l1，l2分别交于A，B两点． 　　 　　综上可知，直线l的方程为x＝3，或y＝1． 　　分析二：利用l1，l2之间的距离及l1与l的夹角的关系求解． 　　解法二：由题意知，平行直线l1，l2间的距离 　　 　　因为直线l被平行直线l1，l2所截得的线段的长为5，设直线l与直线l1的夹角为， 　　所以sin＝，解得＝45°． 　　又因为直线l1：x＋y＋1＝0的斜率为－1，则倾斜角为135°，所以直线l的倾斜角为90°或0°． 　　又因为直线l过点P(3，1)， 　　所以直线l的方程为x＝3，或y＝1． 　　分析三：设直线l与l1，l2分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可通过求出y1－y2，x1－x2的值，确定直线l的斜率(或倾斜角)，从而求得直线l的方程． 　　解法三：设直线l与l1，l2分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0， 　　两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5．　① 　　又|AB|＝5，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25．　② 　　联立①②，解得或 　　所以直线l的斜率不存在或为0． 　　又直线l过点P(3，1)， 　　故直线l的方程为x＝3，或y＝1． 　　点评：一般地，若求过一定点且被两已知平行直线截得的线段为定长a的直线方程，则当a小于两平行直线间的距离d时，没有这样的直线方程；当a＝d时，有唯一的直线方程；当a＞d时，有且只有两个直线方程．另外，本题的三种解法中，解法二采取先求出夹角，再求直线l的斜率或倾斜角，从解法上看较为简单；而解法三利用了整体思想处理问题，在一定程度上简化了运算过程．