Question

选做题：坐标系与参数方程
已知直线l经过点P（2，3），倾斜角α=

π

6

，
（Ⅰ）写出直线l的参数方程．
（Ⅱ）设l与圆x²+y²=4相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之和．

Answer 1

分析：（1）根据直线的参数方程的特征及参数的几何意义，直接写出直线的参数方程．
（2）设点A，B的坐标分别为A(2+

3

2

t1，3+

1

2

t1)，B(2+

3

2

t2，3+

1

2

t2)，把直线L的参数方程代入圆的方程x²+y²=4整理得到t2+(3+2

3

)t+9=0①，由根与系数的关系
可得 t1+t2=-3-2

3

，由t的几何意义可知|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=-（t₁+t₂），从而求得结果．

解答：解：（1）由于过点（a，b） 倾斜角为α 的直线的参数方程为 

x=a+ t •cosα y=b + t•sinα

    (t是参数)，
∵直线l经过点P（2，3），倾斜角α=

π

6

，故直线的参数方程是

x=2+ 3 2 t y=3+ 1 2 t

(t是参数)．…（5分）
（2）因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t₁和t₂，则点A，B的坐标分别为A(2+

3

2

t1，3+

1

2

t1)，B(2+

3

2

t2，3+

1

2

t2)．
把直线L的参数方程代入圆的方程x²+y²=4整理得到t2+(3+2

3

)t+9=0①，…（8分）
因为t₁和t₂是方程①的解，从而t1+t2=-3-2

3

，
由t的几何意义可知|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-t1-t2=3+2

3

． …（10分）

点评：本题主要考查直线的参数方程，以及直线的参数方程中参数的几何意义，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．