Question

已知a＞0,b＞0,a+b=1,求证：(a+)(b+)≥.

Answer 1

思路分析：本题不能由(a+)≥2，(b+)≥2求解.因为此两式当且仅当a=1,b=1时成立，而由a+b=1这显然是不可能的，由要证的结论不易看出解题思路，可先将左边展开，进行“拆”“配”.

证明：左=(a+)(b+)=ab+=()²+++2.

∵a＞0,b＞0,∴+≥2,又∵a＞0,b＞0,a+b=1,∴a+b≥.

≤,≥2,-≥,∴(-)≥,

∴(-)²≥,

∴左≥2+2+=（当且仅当a=b=时取等号）.

方法归纳

    一般的，数学中的定理、公式揭示了若干变量之间的本质联系，但不能定格于特殊形式，因此在解答数学题的过程中，把数值、数式合理地拆成两项或多项，或者恒等地配凑成适当的数或式，是数学表达式数学变形过程中常用的方法，这也是一种解题技巧.