Question

已知直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若|AF|=4，求点A的坐标；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求线段AB的长．

Answer 1

解：由y²=4x，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F（1，0）．（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）由抛物线的定义可知，|AF|=，从而x₁=3．
代入y²=4x，解得．
∴点A的坐标为（3，2）或（3，-2）．（6分）
（2）直线l的方程为y-0=tan45°（x-1），即y=x-1．
与抛物线方程联立，得，（9分）
消y，整理得x²-6x+1=0，其两根为x₁，x₂，且x₁+x₂=6．
由抛物线的定义可知，|AB|=p+x₁+x₂=6+2=8．
所以，线段AB的长是8．（12分）
分析：（1）由y²=4x，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F（1，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由抛物线的定义可知，|AF|=，从而x₁=3．由此能得到点A的坐标．
（2）直线l的方程为y=x-1．与抛物线方程联立，得，整理得x²-6x+1=0，其两根为x₁，x₂，且x₁+x₂=6．由抛物线的定义可知线段AB的长．
点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意抛物线性质的合理运用．