Question

如图，已知四棱锥的底面为菱形，面，且，,分别是的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)过作一平面交棱于点，若二面角的大小为，求的值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）问题需要证明的是线面平行，可以考虑通过证明线线平行来证明面面平行，而题中出现了中点，因此可以考虑通过构造三角形中位线来产生平行线：取的中点,连结、,
易证四边形是平行四边形，从而∥,而平面,平面；（2）根据图形的对称性，可以利用等腰三角形三线合一的性质来构造二面角的平面角，从而利用已知条件中二面角的大小为构造含的三角形，进而可以求得线段长度之间的关系：连结交于，连结，易证就是二面角的平面角，，
不妨设,可求得，从而.
试题解析：（1）如图，取的中点,连结、,
∵是的中点，∴∥,且，又是菱形边的中点，∴∥,且， ∴∥,且，四边形是平行四边形，∴∥,       5分
而平面,平面，                        6分
∴∥平面.                                                  7分
连结交于，连结，∵面，∴，
即，又，且,∴平面，        10分
从而,,∴就是二面角的平面角，，    12分
不妨设,∵，，∴,,,
,∴,在中,，         14分
∴；                                              15分