Question

已知正数数列的前项和为，且（），

数列满足

（1）分别求和

（2）设，数列的前项和为，当时，求证：

（3）是否存在正整数，使得时，恒成立？若存在，求出相应的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）当时，由已知得：，

当时， 

                     

两式相减得： 

   

所以

从而

即                                     ……………… 5分

（2）由（1）知

所以

因 

所以 

所以，由错位相减法得：

  

           

当时，

当时，

当时，

即当时， 

所以当时，

即                                   ……………… 11分

（3）假设存在正整数，使得时，恒成立，即恒成立

  当时，解得，即当时，只要，恒有恒成立

  但当时，解得，此时，不存在满足条件的

综上，故满足条件的不存在                    ……………… 14分