Question

19．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图，且过点$A（\frac{7π}{12}，0），B（0，-1）$，则以下结论不正确的是（　　）

• A． f（x）的图象关于直线$x=-\frac{π}{6}$ 对称
• B． f（x）的图象关于点$（\frac{π}{12}，0）$对称
• C． f（x） 在$[-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}]$ 上是增函数
• D． f（x） 在$[\frac{4π}{3}，\frac{3π}{2}]$ 上是减函数

Answer 1

分析 由图象可得A=2，由图象过点B（0，-1），即2sinϕ=-1，结合|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，解得ϕ=-$\frac{π}{6}$．由图象过点A（$\frac{7π}{12}$，0），可得2sin（$\frac{7π}{12}$ω-$\frac{π}{6}$）=0，解得：ω=$\frac{12}{7}$k+$\frac{2}{7}$，k∈Z，解析式可为f（x）=2sin（$\frac{2}{7}$x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的图象和性质即可逐一求解．

解答 解：函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）图象最高点的纵坐标为2，所以A=2，
∵图象过点B（0，-1），
∴2sinϕ=-1，
∴ϕ=2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z，或ϕ=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z
∵|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，
∴ϕ=-$\frac{π}{6}$．
∵图象过点A（$\frac{7π}{12}$，0），
∴2sin（$\frac{7π}{12}$ω-$\frac{π}{6}$）=0，解得：ω=$\frac{12}{7}$k+$\frac{2}{7}$，k∈Z．
∴k=0时，可得：ω=$\frac{2}{7}$，故所求解析式为f（x）=2sin（$\frac{2}{7}$x-$\frac{π}{6}$）．
则：A，由2sin[$\frac{2}{7}$×（-$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=-2sin$\frac{9π}{42}$≠±2，故错误；
B，2sin（$\frac{2}{7}$×$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=-2sin$\frac{π}{7}$≠0，故错误；
C，由2k$π-\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{7}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，解得单调递增区间为：[7kπ-$\frac{7π}{6}$，7kπ+$\frac{7π}{3}$]，k∈Z，当k=0时，$[-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}]$?[-$\frac{7π}{6}$，$\frac{7π}{3}$]，故正确；
D，由2k$π+\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{7}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得单调递减区间为：[7kπ+$\frac{7π}{3}$，7kπ+$\frac{35π}{6}$]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[$\frac{7π}{3}$，$\frac{35π}{6}$]，故错误．
故选：C．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．