Question

甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c km/h,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;

(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

Answer 1

思路分析:本题根据题意易给出函数的表达式和定义域,只是在第二问求最值时应考虑使f′(x₀)=0的点x₀是否为定义域内的点,即最值是否一定在x₀处取.

解:(1)依题意汽车从甲匀速行驶到乙所用时间为,全程运输成本为y=a·+bv²·

=s(+bv),所求函数及其定义域为

y=s(+bv),v∈(0,c］.

(2)由题意,s,a,b,v均为正数.

由y′=s(b-)=0得v=,且0＜v≤c.

①若≤c,则v=是使y的导数为0的点,即v=时,全程运输成本y最小;

②若＞c,且v∈(0,c］,此时y′＜0,即函数在(0,c］上为减函数,∴当v=c时,y最小.

综上,为使全程运输成本y最小,

当≤c时,行驶速度v=;

当＞c,行驶速度v=c.

    方法归纳 本题建立数学模型后,可利用导数求最值;其实本题也可以用函数y=x+(p＞0)的单调性求解,方法也比较灵活,注意比较.