Question

一船由甲地逆水行驶至乙地,甲、乙两地相距s(km),水的流速为常量a(km/h),船在静水中的最大速度为b(km/h)(b＞a).已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度的平方成正比,比例系数为k,问:船在静水中的航行速度为多少时,其全程的燃料费用最少?

     

Answer 1

思路分析:首先将全程燃料费表示成静水中速度的函数,然后求其最值.

    解:设船在静水中的速度为v(km/h),则船每小时的燃料费用为kv²,

    而全程所需时间为,

    故全程的燃料费用为y=·kv²=ks［(v-a)++2a］［v∈(a,b)).

(1)当2a≤b时,y=ks［(v-a)++2a］≥4aks.

    等号当且仅当v-a=,即v=2a时成立.

∴当v=2a时,其全程的燃料费用最少.

(2)当2a＞b时,令t=v-a,z=t+,

    则0＜t≤b-a.

    设0＜t₁＜t₂≤b-a＜a,

    则0＜t₁t₂≤(b-a)²＜a²,

∴＞1,t₁-t₂＜0.∴z₁-z₂=t₁+-(t₂+)=(t₁-t₂)(1-)＞0,

    即z₁＞z₂.

∴z=t+在(0,b-a)上递减.

    故当t=b-a,即v=b时,y有最小值.

    综上所述,要使全程的燃料费用最少,则应:当b≥2a时,v=2a;当b＜2a时,v=b.