Question

用数学归纳法证明下列不等式:

若a＞0,b＞0且n∈N^*,证明≥()ⁿ.

Answer 1

证明：(1)当n=1时,左边=,右边=,

∴不等式成立.

(2)假设当n=k时,不等式成立,即.则当n=k+1时,

()^k+1=()^k·≤

=,

∵()-()=(a-b)(),

又a＞0,b＞0,

∴(a-b)()≥0.

∴a^kb+ab^k≤a^k+1+b^k+1.

∴()^k+1≤(a^k+1+b^k+1+a^kb+ab^k)≤.

∴n=k+1时,不等式也成立.

由(1)(2),得对于n∈N^*有≥()ⁿ.