Question

线段AB过点M(m,0)(m＞0,如图),并且点A、B到x轴的距离之积为4m,抛物线C以x轴为对称轴且经过O、A、B三点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)当m=1,|AM|=2|MB|时,求直线AB的方程.

Answer 1

解:(1)由题可设抛物线的方程为y²=2px(p＞0).

当线段AB垂直于x轴时,A、B的坐标为,∴.∴2p=4.

当线段AB与x轴不垂直时,设直线AB的斜率为k(k≠0),

则直线AB的方程为y=k(x-m).?

由得,

∴A、B两点的纵坐标的积为-2pm.

由题知,|-2pm|=4m,∴2p=4.

综上所述抛物线C的方程为y²=4x.

(2)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

由(1)可得,

∴

∵M的纵坐标为0,|AM|=2|MB|,

∴,即y₁=-2y₂.

把y₁=-2y₂,代入

得消去y₂得.

∴直线AB的方程为.

启示:当设直线的点斜式方程时,应首先考虑直线的斜率是否存在.