Question

线段AB过点M(m,0)(m＞0),如图,并且点A、B到x轴的距离之积为4 m,抛物线C以x轴为对称轴且经过O、A、B三点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)当m=1,|AM|=2|MB|时,求直线AB的方程.

Answer 1

解：(1)由题可设抛物线的方程为y²=2px(p＞0).

当线段AB垂直于x轴时,A、B的坐标为(m,±2),

∴(2)²=2p·m.

∴2p=4.

当线段AB与x轴不垂直时,设直线AB的斜率为k(k≠0),则直线AB的方程为y=k(x-m).

由

y²-y-2pm=0.

∴A、B两点的纵坐标的积为-2pm.

由题知|-2pm|=4m,

∴2p=4.

综上所述,抛物线C的方程为y²=4x.

(2)设A(x₁,y₁)、B(y₂,y₂),

由(1)可得y²-y-4=0,

∴

∵M的纵坐标为0,|AM|=2|MB|,

∴,即y₁=-2y₂.

把y₁=-2y₂代入

消去y₂得k=±2,

∴直线AB的方程为y=±2(x-1).

绿色通道：

当设直线的点斜式方程时,应首先考虑直线的斜率是否存在.