Question

17．如图，一个简单几何体三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积是$\frac{\sqrt{3}}{6}$，表面积是3．

Answer 1

分析 易得此几何体为四棱锥，利用相应的三角函数可得四棱锥的高，把相关数值代入即可求解．

解答 解：由主视图和左视图为等腰三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为四边形可得此几何体为四棱锥，
∵主视图为边长为1的正三角形，
∴正三角形的高，也就是棱锥的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，俯视图的边长为1，
∴四棱锥的体积=$\frac{1}{3}$×1×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，表面积是1+4×$\frac{1}{2}×1×1$=3．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，3．

点评 解决本题的关键是得到该几何体的形状，易错是确定四棱锥的底面边长与高的大小．