Question

四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=3，AD=PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°，则异面直线PC与AD所成角的余弦值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2 11

  11

• C．

  3

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：利用条件借助图形，利用异面直线所成角的定义找到共面的两条相交直线，然后结合解三角形有关知识解出即可．

解答：解：由条件AB=3，AD=PA=2，PD=2

2

 得PA²+AD²=PD²，故AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB，AD⊥PB，BC⊥PB．
∵矩形ABCD中，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．              
在△PAB中，由余弦定理得 PB=

PA2+AB2-2PA•AB•cosPAB

=

7

．
Rt△PBC中，PC=

PB2+BC2

=

7+4

=

11

，
∴cos∠PCB=

BC

PC

=

2

11

．
即异面直线PC与AD所成角的余弦值为

2

11

=

2 11

11

，
故选B．

点评：本题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角的定义和求法，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．