题目内容
如图所示是一几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．3π
B．4π
C．8π
D．9π
【答案】分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，高为1，底面是腰长为2的等腰直角三角形．如图所示，建立空间直角坐标系．取线段AB的中点，则DA=DB=DC．设球心为O，则OD⊥平面ABC．
又|OP|=|OB|=R，利用两点间的距离公式即可得出．
解答：
解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，高为1，底面是腰长为2的等腰直角三角形．
如图所示，建立空间直角坐标系．取线段AB的中点，则DA=DB=DC．设球心为O，则OD⊥平面ABC．
∵D（1，1，0），∴可设球心O（1，1，z），又B（0，2，0），P（0，0，1）．
∵|OB|=|OP|=R（球的半径）．
∴
，解得
．
∴R=
=
．
∴该几何体外接球的表面积S=
=9π．
故选D．
点评：由三视图正确恢复原几何体即掌握球的性质、两点间的距离公式是解题的关键．
又|OP|=|OB|=R，利用两点间的距离公式即可得出．
解答：
解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，高为1，底面是腰长为2的等腰直角三角形．如图所示，建立空间直角坐标系．取线段AB的中点，则DA=DB=DC．设球心为O，则OD⊥平面ABC．
∵D（1，1，0），∴可设球心O（1，1，z），又B（0，2，0），P（0，0，1）．
∵|OB|=|OP|=R（球的半径）．
∴
，解得．∴R=
=．∴该几何体外接球的表面积S=
=9π．故选D．
点评：由三视图正确恢复原几何体即掌握球的性质、两点间的距离公式是解题的关键．
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