Question

在椭圆

x2

2

+y2=1上，对不同于顶点的任意三个点M，A，B，存在锐角θ，使

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

．则直线OA与OB的斜率之积为

-

1

2

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），由

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

，可得x，y的坐标表达式，进而根据M在椭圆上，可得直线OA与OB的斜率之积．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x12

2

+y12=1①，

x22

2

+y22=1②．
又设M（x，y），∵

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

，
∴

x=x1cosθ+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

∵M在椭圆上，∴

(x1cosθ+x2sinθ)2

2

+（y₁cosθ+y₂sinθ）²=1．
整理得（

x12

2

+y12）cos²θ+（

x22

2

+y22）sin²θ+2（

x1x2

2

+y₁y₂）cosθsinθ=1．
将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得

x1x2

2

+y₁y₂=0．
所以，k_OAk_OB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

故答案为：-

1

2

点评：本题考查向量知识的运用，考查运算能力及探究能力，属于中档题．