题目内容
已知两定点，坐标分别为A(-
，0)，B(
，0)，动点P满足条件∠PBA=2∠PAB，求动点P的轨迹C的方程．
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| 3 |
2
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| 3 |
设P（x，y），∠PAB=α，则∠PBA=2α，它们是直线PA、PB的倾角还是倾角的补角，与点P在x轴的上方还是下方有关；以下讨论：
①若点P在x轴的上方，α∈（0，
），y＞0，
此时，直线PA的倾角为α，PB的倾角为π-2α，
∴tanα=kPA=
，tan（π-2α）=
，（2α≠900）
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-
=
，得：3x2-y2=1，
∵|PA|≥|PB|，∴x≥
．
②当点P在x轴的下方时，y＜0，同理可得点M的轨迹方程为3x2-y2=3（x≥
），
③当点P在线段AB上时，也满足2∠PAB=∠PBA，此时y=0，(-
＜x＜
)．
综上所求点的轨迹方程为3x2-y2=1 (x≥
)，y=0 (-
＜x＜
)．
①若点P在x轴的上方，α∈（0，
| π |
| 2 |
此时，直线PA的倾角为α，PB的倾角为π-2α，
∴tanα=kPA=
| y | ||||
x+
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| y | ||||
x-
|
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-
| y | ||||
x+
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2×
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1-(
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∵|PA|≥|PB|，∴x≥
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| 3 |
②当点P在x轴的下方时，y＜0，同理可得点M的轨迹方程为3x2-y2=3（x≥
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③当点P在线段AB上时，也满足2∠PAB=∠PBA，此时y=0，(-
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2
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| 3 |
综上所求点的轨迹方程为3x2-y2=1 (x≥
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