Question

已知函数=-x²+8x,=6lnx+m,

(1)求在区间［t,t+1］上的最大值h(t);

(2)是否存在实数m,使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.

Answer 1

解：(1)=-x²+8x=-(x-4)²+16.

当t+1<4,即t<3时, 在［t,t+1］上单调递增,

;

当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时,h(t)=f(4)=16;

当t>4时, 在［t,t+1］上单调递减,

=-t²+8t.

综上,h(t)=

(2)函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点,

即函数φ(x)=-的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.

∵φ(x)=x²-8x+6lnx+m,

∴φ′(x)=2x-8+==,

当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;

当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数;

当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;

当x=1或x=3时,φ′(x)=0.

∴φ(x)_max=φ(1)=m-7,

φ(x)_min=φ(3)=m+6ln3-15.

∵当x充分接近0时,φ(x)<0;当x充分大时,φ(x)>0.

∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只需

即7<m<15-6ln3.

∴存在实数m,使得函数与的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln3).