题目内容

已知函数 $数学公式$ [x²-2（2a-1）x+8]（a∈R）
（1）若使函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，求a的取值范围；
（2）当a= $数学公式$ 时，求y=f（ $数学公式$ ），x∈[ $数学公式$ ]的值域．
（3）若关于x的方程f（x）=-1+ $数学公式$ 在[1，3]上有且只有一解，求a的取值范围．

解：（1）∵函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ；
（2）当a= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
∴y=f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∵x∈[ $\text{[math]}$ ]，∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ≤sin（ $\text{[math]}$ ）≤1
∴函数的值域为[ $\text{[math]}$ ]；
（3）原方可化为x²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，
即 $\text{[math]}$ ，x∈[1，3]，由双勾图形可知： $\text{[math]}$ 或4a= $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ 或a= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，建立不等式组，即可求a的取值范围；
（2）确定y=f（ $\text{[math]}$ ），结合三角函数、对数函数的性质，即可求函数的值域；
（3）原方可化为x²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，即 $\text{[math]}$ ，x∈[1，3]，根据在[1，3]上有且只有一解，即可得出结论．
点评：本题考查函数的单调性，函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．