Question

已知函数f（x）=x²+λlnx，
（1）当λ=-2时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求证：如果实数λ≥-8，那么函数f（x）在给定区间[2，+∞）上单调递增．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．
（2）欲证如果实数λ≥-8，那么函数f（x）在给定区间[2，+∞）上单调递增．利用函数的导数与单调性的关系可得，只须证明f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，也即证明即λ≥-2x²在[2，+∞）上恒成立，即证λ≥-8．

解答：解：（1）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），．
当λ=-2时，f′（x）=2x-

2

x

=

2x2-2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

．…（3分）
由f′（x）≤0，且定义域为（0，+∞），
可得f（x）的单调递减区间是（0，1）…（5分）
（Ⅱ） 由f（x）=x²+λlnx，得f′（x）=2x+

λ

x

．
由于函数f（x）为[2，+∞）上的单调增函数，
则f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即不等式2x+

λ

x

≥0在[2，+∞），也即λ≥-2x²在[2，+∞）上恒成立．
由二次函数的单调性，知λ≥-8显然成立，
∴如果实数λ≥-8，那么函数f（x）在给定区间[2，+∞）上单调递增．…（10分）

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．