Question

如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．

(1)证明AD⊥D₁F；

(2)求AE与D₁F所成的角；

(3)证明面AED⊥面A₁FD₁；

(4)设AA₁＝2，求三菱锥F－A₁ED₁的体积

Answer 1

答案：
解析：

本小题满分15分 　　解法一：(1)∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1． 　　又D1F面DC1，∴AD⊥D1F． 　　(2)取AB中点G，连结A1G，FG． 　　因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等， 　　又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等， 　　故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F． 　　设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角， 　　因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE， 　　∠GA1A＝∠GAH，从而∠AHA1＝90°，即直线AE与D1F所成角为直角． 　　(3)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F， 　　又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED． 　　又因为D1F面A1FD1， 　　所以面AED⊥面A1FD1． 　　(4)连结GE，GD1．∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1， 　　∵AA1＝2，面积S△A1GE＝S□ABB1A1－2S△A1AG－S△GBE＝