Question

椭圆的离心率e=，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，当直线l的斜率为1时，坐标原点O到直线l的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，椭圆C上是否存在点P，使得当直线l绕点F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由O到直线l的距离为，l：y=x-c，知，c=1．由e=，知，b²=1．由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）设y=k（x-1）（k≠0）由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此能求出求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程．
解答：解：（1）∵O到直线l的距离为，l：y=x-c，
∴，∴c=1．
∵e=，∴，∴b²=1．
∴椭圆C的方程为．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）设y=k（x-1）（k≠0）
由，消去y得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴，
∴．
∵，
∴x=，
∴y=．
将P点坐标代入椭圆得，
∴，∴，．
当时，，直线，
当时，，直线．
点评：本题考查椭圆C的方程的求法，探究椭圆C上是否存在点P，使得当直线l绕点F转到某一位置时，有成立．若存在，求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程；若不存在，请说明理由．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．