题目内容

椭圆 $数学公式$ 的离心率e= $数学公式$ ，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，当直线l的斜率为1时，坐标原点O到直线l的距离为 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，椭圆C上是否存在点P，使得当直线l绕点F转到某一位置时，有 $数学公式$ 成立？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵O到直线l的距离为 $\text{[math]}$ ，l：y=x-c，
∴ $\text{[math]}$ ，∴c=1．
∵e= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴b²=1．
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）设y=k（x-1）（k≠0）
由 $\text{[math]}$ ，消去y得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴x₀= $\text{[math]}$ ，
∴y₀= $\text{[math]}$ ．
将P点坐标代入椭圆得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由O到直线l的距离为 $\text{[math]}$ ，l：y=x-c，知 $\text{[math]}$ ，c=1．由e= $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，b²=1．由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）设y=k（x-1）（k≠0）由 $\text{[math]}$ ，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此能求出求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程．
点评：本题考查椭圆C的方程的求法，探究椭圆C上是否存在点P，使得当直线l绕点F转到某一位置时，有 $\text{[math]}$ 成立．若存在，求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程；若不存在，请说明理由．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．