Question

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F₂（1，0）．
（Ⅰ）求P点的坐标；
（Ⅱ）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求F₁关于l的对称点为F（m，n），再求直线F₂F的方程，然后求P点的坐标；
（Ⅱ）根据椭圆的定义，求出a、c、b，即可求得椭圆方程．

解答：解：（Ⅰ）设F₁关于l的对称点为F（m，n），
则

m

m+1

 =-

1

2

且2-

m-1

2

-

n

2

+3=0，（3分）
解得m=-

9

5

，n=

2

5

，即F（-

9

5

，

2

5

），（4分）
故直线F₂F的方程为x+7y-1=0．（5分）
由

x+7y-1=0 2x-y+3=0

，解得P（-

4

3

，

1

3

）．（6分）
（Ⅱ）因为PF₁=PF，根据椭圆定义，得
2a=PF₁+PF₂=PF+PF₂=FF₂
=

(- 9 5 -1)2+( 2 5 -0)2

=2

2

，
所以a=

2

．（8分）
又c=1，所以b=1．
所以椭圆C的方程

x2

2

+y2=1．（12分）

点评：本题考查直线关于直线对称的问题，两条直线的交点，椭圆的定义，是基础题．