题目内容
一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：x+2y+6=0上一点M反射后，恰好穿过点F2（1，0）．
（1）求点F1关于直线l的对称点F'1的坐标；
（2）求以F1、F2为焦点且过点M的椭圆C的方程．
（1）求点F1关于直线l的对称点F'1的坐标；
（2）求以F1、F2为焦点且过点M的椭圆C的方程．
分析：（1）设F'1（x0，y0），则根据垂直、中点在对称轴上求得解得点F'1的坐标的坐标．
（2）由对称性知，|MF1|=|MF'1|，根据椭圆定义，得2a=|MF'1|+|MF2|=|F'1F2|，由此求得a的值，再由c=1求得b的值，从而求得椭圆C的方程．
（2）由对称性知，|MF1|=|MF'1|，根据椭圆定义，得2a=|MF'1|+|MF2|=|F'1F2|，由此求得a的值，再由c=1求得b的值，从而求得椭圆C的方程．
解答：解：（1）设F'1（x0，y0），则
=2，且
+2•
+6=0，
解得x0=-3，y0=-4，故点F'1的坐标为（-3，-4）．
（2）由对称性知，|MF1|=|MF'1|，根据椭圆定义，
可得2a=|MF'1|+|MF2|=|F'1F2|=
=4
，即a=2
．
又由题意可得c=1，∴b=
=
，
∴椭圆C的方程为
+
=1．
| y0 |
| x0+1 |
| x0-1 |
| 2 |
| y0 |
| 2 |
解得x0=-3，y0=-4，故点F'1的坐标为（-3，-4）．
（2）由对称性知，|MF1|=|MF'1|，根据椭圆定义，
可得2a=|MF'1|+|MF2|=|F'1F2|=
| (-3-1)2+(-4-0)2 |
| 2 |
| 2 |
又由题意可得c=1，∴b=
| a2-c2 |
| 7 |
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 7 |
点评：本题主要考查反射定律的应用，求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题．
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