Question

如图：二面角α-l-β的大小是60°，线段AB?α，AB与l所成角为45°，则AB与平面β所成角的正弦值是

6

4

．

Answer 1

分析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作CD⊥l于D，连结AD，由三垂线定理证出AD⊥l，可得∠ADC为二面角α-l-β的平面角．连线CB，由AC⊥β可得∠ABC为AB与平面β所成的角，再利用解直角三角形知识，结合题中数据加以计算即可得出求出AB与平面β所成角的正弦值．

解答：解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．
连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，
因此，∠ADC为二面角α-l-β的平面角，∠ADC=60°
又∵AB与l所成角为45°，∴∠ABD=45°
连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，
∴∠ABC为AB与平面β所成的角．
设AD=2x，则Rt△ACD中，AC=ADsin60°=

3

x，
Rt△ABD中，AB=

AD

sin45°

=2

2

x
∴Rt△ABC中，sin∠ABC=

AC

AB

=

3 x

2 2 x

=

6

4

故答案为：

6

4

．

点评：本题给出60°的二面角的一个面内一条直线与棱成45°角，求该直线与另一个面所成角的正弦值．着重考查了线面垂直的定义与性质、二面角的平面角的定义和直线与平面所成角的定义及求法等知识，属于中档题．