Question

8．设x，y，z∈R₊且$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$+z=1，求xy+2xz的最大值．

Answer 1

分析 令x=rcosθ，y=rsinθ，r∈（0，1），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），可得z=1-r．通过三角函数代换、利用二次函数和三角函数单调性即可得出．

解答 解：令x=rcosθ，y=rsinθ，r∈（0，1），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵实数x，y，z满足$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$+z=1，
∴r+z=1，可得z=1-r．
∴t=xy+2xz=r²sinθcosθ+2r（1-r）cosθ
=（sinθcosθ-2cosθ）r²+2rcosθ=cosθ[（sinθ-2）r²+2r]=cosθ[sin（θ-2）（r+$\frac{1}{sinθ-2}$）²+$\frac{1}{2-sinθ}$]≤$\frac{cosθ}{2-sinθ}$，
当r=$\frac{1}{2-sinθ}$时等号成立．
又令m=$\frac{cosθ}{2-sinθ}$，则msinθ+cosθ=2m，
∴$\sqrt{{m}^{2}+1}$≥|2m|，
∴m²≤$\frac{1}{3}$．
当θ=$\frac{π}{6}$时，m取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，z=$\frac{1}{3}$，
故xy+2xz的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了通过三角函数代换、利用二次函数和三角函数单调性解决问题的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．