Question

如图，椭圆C: x ²＋3 y ²＝3b²  (b＞0).

(Ⅰ) 求椭圆C的离心率；

(Ⅱ) 若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且 | AB | ＝，求△AOB面积的最大值.

 

Answer 1

本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

(Ⅰ)解：由x²＋3y²＝3b²  得 ，

所以e＝＝＝＝．                      …………5分

(Ⅱ)解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，△ABO的面积为S．

如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为(，)，此时S＝＝；

如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y＝kx＋m，

由 得x²＋3(kx＋m) ²＝3，

即 (1＋3k²)x²＋6kmx＋3m²－3＝0，又Δ＝36k²m²－4(1＋3k²) (3m²－3)＞0，

所以  x₁＋x₂＝－，x₁ x₂＝，

(x₁－x₂)²＝(x₁＋x₂)²－4 x₁ x₂＝，   ①

由 | AB |＝及 | AB |＝得

(x₁－x₂)²＝，                           ②

结合①，②得m²＝(1＋3k²)－．又原点O到直线AB的距离为，

所以S＝，

因此 S²＝＝[－]＝[－(－2)²＋１]

＝－(－2)²＋≤，

故S≤．当且仅当＝2，即k＝±1时上式取等号．又＞，故S _max＝．

                                                      …………15分