Question

（2013•江西）如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点P （1，

3

2

），离心率e=

1

2

，直线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃．问：是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意将点P （1，

3

2

）代入椭圆的方程，得到

1

a2

+

3

4b2

=1(a＞b＞0)，再由离心率为e=

1

2

，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；
（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系求得x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，再求点M的坐标，分别表示出k₁，k₂，k₃．比较k₁+k₂=λk₃即可求得参数的值；
方法二：设B（x₀，y₀）（x₀≠1），以之表示出直线FB的方程为y=

y0

x0-1

(x-1)，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k₁，k₂，k₃．比较k₁+k₂=λk₃即可求得参数的值

解答：解：（1）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点P （1，

3

2

），可得

1

a2

+

9

4b2

=1(a＞b＞0)  ①
由离心率e=

1

2

得

c

a

=

1

2

，即a=2c，则b²=3c²②，代入①解得c=1，a=2，b=

3

故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）③
代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

    ④
在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），
从而k1=

y1- 3 2

x1-1

，k2=

y2- 3 2

x2-1

，k3=

3k- 3 2

4-1

=k-

1

2

注意到A，F，B共线，则有k=k_AF=k_BF，即有

y1

x1-1

=

y2

x2-1

=k
所以k₁+k₂=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

-

3

2

（

1

x1-1

+

1

x2-1

）
=2k-

3

2

×

x1+x2-2

x1x2-(x1+x2)+1

    ⑤
④代入⑤得k₁+k₂=2k-

3

2

×

8k2 4k2+3 -2

4k2-12 4k2+3 - 8k2 4k2+3 +1

=2k-1
又k₃=k-

1

2

，所以k₁+k₂=2k₃
故存在常数λ=2符合题意
方法二：设B（x₀，y₀）（x₀≠1），则直线FB的方程为y=

y0

x0-1

(x-1)
令x=4，求得M（4，

3y0

x0-1

）
从而直线PM的斜率为k₃=

2y0-x0+1

2(x0-1)

，
联立

x2 4 + y2 3 =1 y= y0 x0-1 (x-1)

，得A（

5x0-8

2x0-5

，

3x0

2x0-5

），
则直线PA的斜率k₁=

2y0-2x0+5

2(x0-1)

，直线PB的斜率为k₂=

2y0-3

2(x0-1)

所以k₁+k₂=

2y0-2x0+5

2(x0-1)

+

2y0-3

2(x0-1)

=2×

2y0-x0+1

2(x0-1)

=2k₃，
故存在常数λ=2符合题意

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．