Question

已知α、β为一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中错误的是    ．
①tanαtanβ＜1；         ②；
③cosα+cosβ＞1；       ④．

Answer 1

【答案】分析：可利用α+β＜90°，对四个选项逐一分析．
①项中tanαtanβ＜tanαtan（90°-α），②项中sinα+sinβ＜sinα+sin（90°-α）=sinα+cosα，③项cosα+cosβ＞cosα+cos（90°-α）通过两角和公式分析均正确．④项举α=30°，β=30°分析知结论不成立
解答：解：因为对于钝角三角形，必定有α+β＜90°，所以
对于①．tanαtanβ＜tanαtan（90°-α）=tanαcotα=1，故①对．
对于②．∵α+β＜90°，∴0＜β＜90°-α＜90°⇒sinβ＜sin（90°-α）
∴sinα+sinβ＜sinα+sin（90°-α）=sinα+cosα=sin（α+45°）≤，
即  成立；故②对．
对于③．cosα+cosβ＞cosα+cos（90°-α）=cosα+sinα=sin（α+45°）
而0＜α＜90°⇒45°＜α+45°＜135°⇒sin（α+45°）＞⇒cosα+cosβ＞sin（α+45°）＞1，故③对．
对于④．举个例子，假如α=30°，β=30°，则×tan（α+β）=×tan60°=×=；而tan=tan30°=比小，故等式不成立．即④不成立．
故答案为：④．
点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换应用．要熟练掌握如角的变换法、化弦法、降幂法等常用的方法．解决本题的关键在于利用好α、β为一个钝角三角形的两个锐角这一条件．