Question

已知椭圆C:，经过点,离心率 ,直线的方程为 .

(1)求椭圆C的方程；

(2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线l与直线AB相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.                     

Answer 1

（1）由点在椭圆上得，  ①  ②

由 ①②得，故椭圆的方程为.......4分

（2）假设存在常数，使得.

由题意可设   ③

代入椭圆方程并整理得

设，则有   ④......6分

在方程③中，令得，，从而

.又因为共线，则有，

即有

所以

= ⑤

将④代入⑤得，又，

所以

故存在常数符合题意......12分