Question

已知曲线f（x）=x³+bx²+cx在点我A（-1，f（-1）），B（3，f（3））处的切线互相平行，且函数f（x）的一个极值点为x=0．
（I）求实数b，c的值；
（II ）若函数y=f（x）（x∈[-

1

2

，3]）的图象与直线y=m恰有三个交点，求实数m的取值范围；
（III）若存在x₀∈[1，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使得

1

6

f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立（其中f′（x）为函数f（x）的导函数），求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=x³+bx²+cx，得f^′（x）=3x²=2bx+c，
∵曲线f（x）=x³+bx²+cx在点A（-1，f（-1）），B（3，f（3））处的切线互相平行，且函数f（x）的一个极值点为x=0，
∴

f′(-1)=f′(3) f′(0)=0

，即

3-2b+c=27+6b+c c=0

，解得：

b=-3 c=0

．
∴实数b，c的值分别为-3，0；
（Ⅱ）由f（x）=x³-3x²，∴f^′（x）=3x²-6x，
由f^′（x）＞0，得x＜0或x＞2，由f^′（x）＜0，得0＜x＜2．
∴函数f（x）在区间[-

1

2

，0)，（2，3]上递增，在（0，2）上递减．
且f(-

1

2

)=(-

1

2

)3-3×(-

1

2

)2=-

7

8

，f（0）=0，f（2）=2³-3×2²=-4，f（3）=3³-3×3²=0．
∴函数y=f（x）（x∈[-

1

2

，3]）的图象与直线y=m恰有三个交点，则-

7

8

≤m＜0．
故所求实数m的取值范围是[-

7

8

，0)．
（Ⅲ）依题意知存在x₀∈[1，e]，使得

1

6

f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立，即

1

2

x02-x0+alnx0≤ax0成立，
设g(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x，则g（x）_min≤0，
g′(x)=x+

a

x

-(a+1)=

(x-1)(x-a)

x

，
①当a≤1时，由x∈（1，e），g^′（x）＞0，得函数g（x）在[1，e]上递增，
∴g(x)min=g(1)=

1

2

-(a+1)≤0，得-

1

2

≤a≤1．
②当1＜a＜e时，可知在（1，a）上g^′（x）0，
得函数g（x）在（1，a）上递减，在（a，e）上递增，
∴g(x)min=g(a)=-

1

2

a2+alna-a≤0恒成立，∴1＜a＜e．
③当a≥e时，在x∈（1，e）上g^′（x）＜0，∴函数g（x）在[1，e]上递减，
∴g(x)min=g(e)=-

1

2

e2+a-ae-e≤0，∴a≥

e2-2e

2(e-1)

，又

e2-2e

2(e-1)

＜e，
∴a≥e．
综上可知：a≥-

1

2

．
∴实数a的取值范围是[-

1

2

，+∞）．