Question

已知曲线f（x）=

x-1

在点A（2，1）处的切线为直线l
（1）求切线l的方程；
（2）求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）的导数f'（x），再求出f'（1）的值得到曲线在点A处的切线斜率，利用直线的点斜式方程列式，化简即得切线l的方程；
（2）算出曲线在x轴上的交点坐标，可得所求面积为函数

1

2

x-

x-1

在[0，2]上的定积分的值，再利用积分计算公式加以计算即可得到答案．

解答：解：（1）∵求导数，得f'（x）=

1

2 x-1

∴曲线f（x）=

x-1

在点A（2，1）处的切线斜率为f'（2）=

1

2 2-1

=

1

2

因此，切线l的方程为y-1=

1

2

（x-2），化简得x-2y=0；
（2）令y=0，得f（1）=0，得曲线f（x）=

x-1

在x轴的交点为（1，0）
∴封闭图形的面积为S=

∫

2 0

(

1

2

x-

x-1

)dx=[

1

4

x2-

2

3

(x-1)

3

2

]

|

2 1

=

1

3

即切线l，x轴及曲线所围成的图形面积为

1

3

．

点评：本题给出曲线f（x）=

x-1

在点A处的切线方程，并依此求封闭图形的面积．着重考查了切线的方程求法、定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于中档题．