Question

如图所示，正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁的棱长为．

(1)求证：平面BB₁D₁D⊥ACD₁；

(2)求AA₁与平面ACD₁所成的角；

(3)设H为截面ACD₁内一点，求H到正方体表面ADD₁A₁、DCC₁D₁、ABCD的距离之平方和    的最小值．

Answer 1

解法一：(1)由正方体性质易知AC⊥BD，AC⊥BB₁，即AC⊥平面BB₁D₁D，

      又AC平面ACD₁，所以平面BB₁D₁D⊥平面ACD₁．

      (2)作A₁G⊥平面ACD_l，垂足为G，连AG，则∠A₁AG为AA₁与平面ACD₁所成的角．

      连A₁C₁，设A₁C₁∩B_lD_l=O₁，AC∩BD=O，

      ∵A₁C₁∥AC，AC平面ACD₁，A_lC₁平面ACD₁，

      ∴A₁C₁∥平面ACD₁，即A₁G等于O₁到平面ACD₁的距离．

      连OO₁，OD₁，在Rt△DO₁D₁中，作O₁E上OD₁于E，则由(1)知O₁E⊥平面ACD₁，

      又在Rt△OO₁D₁中，O₁E=，

      所以，sin∠A₁AG=．

      故AA₁与平面ACD₁所成角为arcsin．

      (也可利用DD_l∥AA_l求解)

      (3)分别作HM，HN，HF垂直于平面ADD₁A₁，DOC₁D₁，ABCD，

则HM²+HN²+HF²=HD²，

      ∵HD⊥平面ACD₁时，HD最小值为，故所求距离之平方和的最小值为．

      解法二：以D为原点，射线DA、DC、DD₁为、、轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

      (1)

      由知AC⊥DB，AC⊥DD₁，即AC⊥平面BB₁D₁D，

所以平面BB_lD₁D⊥平面ACD₁．

      (2)易知平面ACD₁的法向量为m=(1，1，1)．

又，设AA₁与平面ACD₁所成角为，则，

      故AA₁与平面ACD₁所成角为arcsin．

      (3)设H的坐标为)，则|HM|²+|HN|²+|HF|²=，

      又，

∴所求距离之平方和的最小值为．