Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB、BC的中点，G为DD₁上一点，且D₁G：GD=1：2，AC∩BD=O，求证：平面AGO∥平面D₁EF．

Answer 1

分析：证明两个平面平行，只需在一个平面内，找出两条相交直线与另一个平面平行即可．AO?平面D1EF，EH?平面D₁EF，推出AO∥平面D₁EF，
AO∩GO=O即可证明结论．

解答：证明：如图所示，设EF∩BD=H，E、F分别是AB、BC的中点，G为DD₁上一点，且D₁G：GD=1：2，AC∩BD=O，在△DD₁H中，

DO

DH

=

2

3

=

DG

DD1

，
∴GO∥D₁H，又GO?平面D₁EF，D₁H?平面D₁EF，
∴GO∥平面D₁EF，
在△BAO中，BE=EF，BH=HO，∴EH∥AO
AO?平面D1EF，EH?平面D₁EF，∴AO∥平面D₁EF，
AO∩GO=O，∴平面AGO∥平面D₁EF．

点评：本题是中档题，考查平面与平面平行的判断，正确利用判断定理是证明立体几何题目的前提，考查逻辑推理能力．