Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}-a{x}^{2}-1，x＜0}\\{|x-3|+a，x≥0}\end{array}\right.$恰有两个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （-3，0）
• B． （-∞，0）
• C． （-∞，-3）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 先判断a＜0，再分析x＜0，函数在x=$\frac{a}{3}$时取得极大值-$\frac{{a}^{3}}{27}$-1，x=0时取得极小值-1，利用f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}-a{x}^{2}-1，x＜0}\\{|x-3|+a，x≥0}\end{array}\right.$恰有2个零点，即可得出结论．

解答 解：由题意，a＜0，
x＜0，f（x）=2x³-ax²-1，
f′（x）=2x（3x-a）=0，可得x=0或$\frac{a}{3}$，
∴函数在x=$\frac{a}{3}$时取得极大值-$\frac{{a}^{3}}{27}$-1，x=0时取得极小值-1，
∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}-a{x}^{2}-1，x＜0}\\{|x-3|+a，x≥0}\end{array}\right.$恰有两个零点，
∴-$\frac{{a}^{3}}{27}$-1＜0且3+a＞0
∴-3＜a＜0，
故选：A．

点评 本题考查分段函数，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．