Question

（1）解不等式9^x-10•3^x+9≤0；
（2）在（1）的条件下求函数f(x)=(

1

4

)x-1-4(

1

2

)x+2的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用换元法，设t=3^x，从而将指数不等式转化为一元二次不等式，解不等式即可；（2）利用换元法，设t=(

1

2

)x，从而将指数复合函数问题转化为二次函数求最值问题，利用配方法求最值即可

解答：解：（1）设t=3^x，则t＞0，
∴不等式9^x-10•3^x+9≤0可转化为t²-10t+9≤0
即（t-1）（t-9）≤0，
∴1≤t≤9
即1≤3^x≤9，∴0≤x≤2
∴不等式9^x-10•3^x+9≤0的解集为[0，2]
（2）f(x)=(

1

4

)x-1-4(

1

2

)x+2=(

1

2

)2x-2-4(

1

2

)x+2
令t=(

1

2

)x，由（1）知，0≤x≤2，∴t∈[

1

4

，1]
f（t）=4t²-4t+2，t∈[

1

4

，1]
∴当x=

1

2

时，f（t）最小=1
当x=1时，f（t）最大=2
∴函数f(x)=(

1

4

)x-1-4(

1

2

)x+2的最大值为2，最小值为1．

点评：本题考查了指数不等式的解法，指数复合函数最值的求法，换元法在解不等式和求最值中的应用