题目内容
阅读不等式5x≥4x+1的解法：
解：由5x≥4x+1，两边同除以5x可得1≥(
)x+(
)x．
由于0＜
＜
＜1，显然函数f（x）=（
）x+（
）x在R上为单调减函数，
而f(1)=
+
=1，故当x＞1时，有f（x）=（
）x+（
）x＜f（x）=1
所以不等式的解集为{x|x≥1}．
利用解此不等式的方法解决以下问题：
（1）解不等式：9x＞5x+4x；
（2）证明：方程5x+12x=13x有唯一解，并求出该解．
解：由5x≥4x+1，两边同除以5x可得1≥(
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由于0＜
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而f(1)=
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| 5 |
| 1 |
| 5 |
所以不等式的解集为{x|x≥1}．
利用解此不等式的方法解决以下问题：
（1）解不等式：9x＞5x+4x；
（2）证明：方程5x+12x=13x有唯一解，并求出该解．
分析：（1）根据阅读内容提供的方法，设f(x)=(
)x+(
)x，将不等式变形并利用f（x）的单调性和f（1）=1，即可求出原不等式的解集；
（2）方程的两边同除以13x，得（
）x+（
）x=1，利用函数g(x)=(
)x+(
)x的单调性和g（2）=1，即可证出原方程有唯一解x=2．
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（2）方程的两边同除以13x，得（
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解答：解：（1）由9x＞5x+4x，两边同除以9x可得1≥(
)x+(
)x．
∵0＜
＜
＜1，∴函数f(x)=(
)x+(
)x在R上为单调减函数，
∵f(1)=
+
=1，
∴当x＞1时，f（x）=(
)x+(
)x＜f（1）=1，
因此，原不等式的解集为{x|x＞1}．
（2）方程有唯一解x=2，证明如下：
将方程两边同除以13x，可得（
）x+（
）x=1，
∵0＜
＜
＜1，可得函数g（x）=（
）x+（
）x在R上为单调减函数，
∵g(2)=(
)2+(
)2=1，
∴当x＞2时，g（x）=（
）x+（
）x＜g（2），即（
）x+（
）x＜1；
且当x＜2时，g（x）=（
）x+（
）x＞g（2），（
）x+（
）x＞1．
由此可得，有且仅有x=2能使等式成立，即x=2为方程5x+12x=13x的唯一解．
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∵0＜
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∵f(1)=
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∴当x＞1时，f（x）=(
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| 4 |
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因此，原不等式的解集为{x|x＞1}．
（2）方程有唯一解x=2，证明如下：
将方程两边同除以13x，可得（
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∵0＜
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∵g(2)=(
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∴当x＞2时，g（x）=（
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且当x＜2时，g（x）=（
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由此可得，有且仅有x=2能使等式成立，即x=2为方程5x+12x=13x的唯一解．
点评：本题给出解关于x的指数方程的例题，要求我们根据该例题解关于x的指数方程和不等式．着重考查了指数函数的单调性和类比推理的一般方法等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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，函数
和
在R内都单调递减；则f（x）在（-∞，+∞）内单调递减．
．
；