Question

【题目】已知函数.

（1）若函数的图象与轴有且只有一个公共点，求实数的取值范围；

（2）若对任意成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出及其导函数，利用研究的单调性和最值，根据零点存在定理和零点定义可得的范围．

（2）令，题意说明时，恒成立.同样求出导函数，由研究的单调性，通过分类讨论可得的单调性得出结论．

解（1）函数

所以

讨论：

①当时，无零点；

②当时，，所以在上单调递增.

取，则

又，所以，此时函数有且只有一个零点；

③当时，令，解得（舍）或

当时，，所以在上单调递减；

当时，所以在上单调递增.

据题意，得，所以（舍）或

综上，所求实数的取值范围为.

（2）令，根据题意知，当时，恒成立.

又

讨论：

①若，则当时，恒成立，所以在上是增函数.

又函数在上单调递增，在上单调递增，所以存在使，不符合题意.

②若，则当时，恒成立，所以在上是增函数，据①求解知，

不符合题意.

③若，则当时，恒有，故在上是减函数，

于是“对任意成立”的充分条件是“”，即，

解得，故

综上，所求实数的取值范围是.