巴山市某重点中学“发现数学的美丽尖峰团队的记为同学弘扬“砥砺自为的校训精神.在周末自觉抵制网络游戏.发挥QQ群的正能量作用开展“共探共享自主研究性学习活动.这是他们以人教A版教学必修一-P82.8题中的函数:f(x)=lg$\frac{1-x}{1+x}$为基本素材.取得的部分研究结果:①QQ好友通过乡下富起来“发现:函数f,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．巴山市某重点中学“发现数学的美丽”尖峰团队的记为同学弘扬“砥砺自为”的校训精神，在周末自觉抵制网络游戏，发挥QQ群的正能量作用开展“共探共享”自主研究性学习活动，这是他们以人教A版教学必修一-P82.8题中的函数：f（x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$为基本素材，取得的部分研究结果：
①QQ好友”通过乡下富起来“发现：函数f（x）的定义域为（-1，1）；
②QQ好友“南江红叶红起来”发现：对于任意a，b∈（-1，1），都有f（a）+f（b）=f（$\frac{a+b}{1+ab}$）恒成立；
③QQ好友“巴中二环通起来”发现：函数f（x）是偶函数；
④QQ好友“平昌水乡美起来”发现：函数f（x）只有一个零点；
⑤QQ好友“恩阳机场飞起来”发现：对于函数f（x）定义域中任意不同实数x₁，x₂，总满足$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0．其中所有的正确研究成果的序号是①②④．

分析由$\frac{1-x}{1+x}$＞0解得-1＜x＜1；
作差法可得f（a）+f（b）-f（$\frac{a+b}{1+ab}$）=0；
化简f（x）+f（-x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$+lg$\frac{1+x}{1-x}$=0；
解方程lg$\frac{1-x}{1+x}$=0可得x=0；
可判断f（x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$在（-1，1）上是减函数；从而依次分别判断即可．

解答解：由$\frac{1-x}{1+x}$＞0解得-1＜x＜1，故①正确；
f（a）+f（b）-f（$\frac{a+b}{1+ab}$）
=lg$\frac{1-a}{1+a}$+lg$\frac{1-b}{1+b}$-lg$\frac{1-\frac{a+b}{1+ab}}{1+\frac{a+b}{1+ab}}$
=lg（$\frac{1-a}{1+a}$•$\frac{1-b}{1+b}$）-lg$\frac{1-\frac{a+b}{1+ab}}{1+\frac{a+b}{1+ab}}$
=lg$\frac{1+ab-a-b}{1+ab+a+b}$-lg$\frac{1+ab-a-b}{1+ab+a+b}$=0，
故②正确；
∵f（x）+f（-x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$+lg$\frac{1+x}{1-x}$=0，
∴f（x）是奇函数，故③不正确；
令lg$\frac{1-x}{1+x}$=0解得，x=0；故④成立；
∵f（x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$=lg（-1+$\frac{2}{x+1}$）在（-1，1）上是减函数，
∴$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．
故⑤不正确；
故答案为：①②④．

点评本题考查了对数函数的性质的判断及应用．