Question

若存在正数x，使a•2^x+l＞4^x成立，则实数a的取值范围是

（0，+∞）

．

Answer 1

分析：令t=2^x，则t＞1，由条件可得存在t，使得 a＞

t2-1

t

=t-

1

t

（t＞1），只需a＞（

t2-1

t

）_min，转化为求函数的最小值．

解答：解：令t=2^x，由于x是正数，故t＞2⁰=1，即t＞1．
由条件可得存在t，使得 a＞

t2-1

t

=t-

1

t

（t＞1），只需a＞（

t2-1

t

）_min，
令f（t）=

t2-1

t

=t-

1

t

（t＞1），则f′（t）=1+

1

t2

＞0，
f（t）在（1，+∞）上为增函数，f（t）＞f（1）=0
所以有a＞0，故实数a的取值范围是 （0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．

点评：本题主要考查函数的性质应用，考查逻辑思维、运算求解能力．体现了转化的数学思想，属于中档题．