题目内容

已知f（x）= $数学公式$ [（a-1）x-2]．
（1）若a＞1，求f（x）的定义域；
（2）若0＜a＜1，判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）若f（x）＞0在[1， $数学公式$ ]上恒成立，求a 的取值范围．

（1）解：由a＞1，a-1＞0，解（a-1）x-2＞0得 $\text{[math]}$
∴f（x）的定义域是 $\text{[math]}$ ；
（2）证明：∵0＜a＜1，a-1＜0，解（a-1）x-2＞0得 $\text{[math]}$
∴f（x）的定义域是 $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
∵a-1＜0， $\text{[math]}$
∴（a-1）x₁-2＞（a-1）x₂-2＞0
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴该函数在 $\text{[math]}$ 上是减函数；
（3）解：①若a＞1，则 $\text{[math]}$ ，即在[1， $\text{[math]}$ ]上恒有0＜（a-1）x-2＜1
∵a-1＞0，∴（a-1）x-2为单调增函数，只要 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
②若0＜a＜1，则 $\text{[math]}$ ，即在[1， $\text{[math]}$ ]上恒有（a-1）x-2＞1
∵a-1＜0，∴（a-1）x-2为单调减函数，只要（a-1）× $\text{[math]}$ -2＞1，∴ $\text{[math]}$
∵0＜a＜1，∴a∈∅
综上，a 的取值范围为 $\text{[math]}$
分析：（1）利用真数大于0，可得（a-1）x-2＞0，根据a＞1，得 $\text{[math]}$ ，从而可得f（x）的定义域；
（2）先求函数的f（x）的定义域是 $\text{[math]}$ ，再利用单调性的定义，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，从而可得f（x₁）-f（x₂）＞0，所以该函数在 $\text{[math]}$ 上是减函数；
（3）分类讨论：①若a＞1，则 $\text{[math]}$ ，即在[1， $\text{[math]}$ ]上恒有0＜（a-1）x-2＜1；②若0＜a＜1，则 $\text{[math]}$ ，即在[1， $\text{[math]}$ ]上恒有（a-1）x-2＞1，从而可求a 的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查函数的定义域，考查函数的单调性的判断与证明，同时考查恒成立问题，解题时应注意底数的讨论．