Question

已知f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（2）是否存在这样的a的值，使得f（x）≥g（x）+2（x∈R^*）恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出所有这样的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．函数F（x）=f（x）-g（x），知F（x）=ax²-2lnx，其定义域为（0，+∞），所以F′(x)=2ax-

2

x

=

2(ax2-1)

x

(x＞0)，再由导数的符号讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（2）即使F（x）≥2在x＞0时恒成立．当a≤0时，x→+∞，则F（x）→-∞．F（x）≥2在x＞0时不可能恒成立．a＞0，由Fmin(x)=F(

1

a

)=1-2ln

1

a

=1-ln

1

a

，知只须1-ln

1

a

≥2即可．由此能导出存在这样的a的值，使得f（x）≥g（x）+2（x∈R⁺）恒成立．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．
函数F（x）=f（x）-g（x），
∴F（x）=ax²-2lnx，
其定义域为（0，+∞）（1分）
∴F′(x)=2ax-

2

x

=

2(ax2-1)

x

(x＞0)
（i）当a＞0时，由ax2-1＞0得x＞

1

a

．由ax2-1＜0得0＜x＜

1

a

故当a＞0时，F(x)的递增区间为(

1

a

，+∞)，递减区间为(0，

1

a

)．（4分）
（ii）当a＜0时，F'（x）＜0（x＞0）恒成立
故当a≤0时，F（x）在（0，+∞）上单调递减．（6分）
（2）即使F（x）≥2在x＞0时恒成立．
由（1）可知当a≤0时，x→+∞，
则F（x）→-∞．F（x）≥2在x＞0时不可能恒成立．（7分）
∴a＞0，由（1）可知
Fmin(x)=F(

1

a

)=1-2ln

1

a

=1-ln

1

a

（10分）
∴只须1-ln

1

a

≥2即可，
∴lna≥1，
∴a≥e，
故存在这样的a的值，
使得f（x）≥g（x）+2（x∈R⁺）恒成立．
a的取值范围为[e，+∞）．（12分）

点评：本题考查导数的最大值和最小值的实际应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要认真审题，仔细解答．