Question

19．下列命题中，正确的是（1）、（2）、（3）
（1）平面向量$\vec a$与$\vec b$的夹角为60°，$\vec a=（2，0）$，$|{\vec b}|=1$，则$|{\vec a+\vec b}|$=$\sqrt{7}$
（2）已知$\overrightarrow a=（{sinθ，\sqrt{1+cosθ}}），\overrightarrow b=（{1，\sqrt{1-cosθ}}）$，其中θ∈（π，$\frac{3π}{2}$），则$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$
（3）对于x∈R，绝对值不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为[0，+∞）；
（4）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-16$．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积求出$|{\vec a+\vec b}|$的值即可判断正误；
（2）根据$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即可判断$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；
（3）求出不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集即可；
（4）利用平面向量的数量积求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值即可．

解答 解：对于（1），∵＜$\vec a$，$\vec b$＞=60°，$\vec a=（2，0）$，$|{\vec b}|=1$，
∴$|{\vec a+\vec b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4+2×2×1×cos60°+1}$=$\sqrt{7}$，（1）正确；
对于（2），$\overrightarrow a=（{sinθ，\sqrt{1+cosθ}}），\overrightarrow b=（{1，\sqrt{1-cosθ}}）$，θ∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinθ+$\sqrt{（1+cosθ）（1-cosθ）}$=sinθ+|sinθ|=sinθ-sinθ=0，
∴$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，（2）正确；
对于（3），x∈R时，不等式|x+10|-|x-2|≥8等价于
$\left\{\begin{array}{l}{（x+10）-（x-2）≥8，x＞2}\\{（x+10）+（x-2）≥8，-10≤x≤2}\\{-（x+10）+（x-2）≥8，x＜-10}\end{array}\right.$，
解得x≥0，
∴该不等式的解集为[0，+∞），（3）正确；
对于（4），Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$）•$\overrightarrow{AC}$=${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AC}$=16，∴（4）错误．
综上，正确的命题是（1）（2）（3）．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评 本题考查了平面向量的数量积的应用问题，也考查了绝对值不等式的解法与应用问题，是综合性题目．