Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若不等式在区间上恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）．

【解析】

（1）函数求导得，根据根的大小，分 ，， 三种情况讨论求解.

（2）根据不等式在区间上恒成立，当时，恒成立，当时，转化为，恒成立，令，利用导数法求其最小值即可.

（1），

即，当时，在上单调递增；

当，即时，由，得或，由，得，

所以在区间和上单调递增；在区间上单调递减；

当，即时，由，得或，由，得，

所以在区间和上单调递增；在区间上单调递减．

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在区间和上单调递增；在区间上单调递减；

当时，在区间和上单调递增；在区间上单调递减．

（2）因为不等式在区间上恒成立，

所以当时，恒成立，当时，，

令，

则，由（1）得，当时，在上单调递增，

又因为，所以时，；时，，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

则，

所以．

综上，的取值范围为．